Add equations for check_equal
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@ -4,42 +4,44 @@ Require Import Autosubst2.core Autosubst2.fintype Autosubst2.syntax
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Require Import algorithmic.
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From stdpp Require Import relations (rtc(..), nsteps(..)).
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Require Import ssreflect ssrbool.
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From Hammer Require Import Tactics.
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Inductive algo_dom {n} : PTm n -> PTm n -> Prop :=
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| A_AbsAbs a b :
|
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algo_dom a b ->
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algo_dom_r a b ->
|
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(* --------------------- *)
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algo_dom (PAbs a) (PAbs b)
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| A_AbsNeu a u :
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ishne u ->
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algo_dom a (PApp (ren_PTm shift u) (VarPTm var_zero)) ->
|
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algo_dom_r a (PApp (ren_PTm shift u) (VarPTm var_zero)) ->
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(* --------------------- *)
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algo_dom (PAbs a) u
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| A_NeuAbs a u :
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ishne u ->
|
||||
algo_dom (PApp (ren_PTm shift u) (VarPTm var_zero)) a ->
|
||||
algo_dom_r (PApp (ren_PTm shift u) (VarPTm var_zero)) a ->
|
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(* --------------------- *)
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algo_dom u (PAbs a)
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| A_PairPair a0 a1 b0 b1 :
|
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algo_dom a0 a1 ->
|
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algo_dom b0 b1 ->
|
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algo_dom_r a0 a1 ->
|
||||
algo_dom_r b0 b1 ->
|
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(* ---------------------------- *)
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algo_dom (PPair a0 b0) (PPair a1 b1)
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| A_PairNeu a0 a1 u :
|
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ishne u ->
|
||||
algo_dom a0 (PProj PL u) ->
|
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algo_dom a1 (PProj PR u) ->
|
||||
algo_dom_r a0 (PProj PL u) ->
|
||||
algo_dom_r a1 (PProj PR u) ->
|
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(* ----------------------- *)
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algo_dom (PPair a0 a1) u
|
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||||
| A_NeuPair a0 a1 u :
|
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ishne u ->
|
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algo_dom (PProj PL u) a0 ->
|
||||
algo_dom (PProj PR u) a1 ->
|
||||
algo_dom_r (PProj PL u) a0 ->
|
||||
algo_dom_r (PProj PR u) a1 ->
|
||||
(* ----------------------- *)
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||||
algo_dom u (PPair a0 a1)
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@ -48,8 +50,8 @@ Inductive algo_dom {n} : PTm n -> PTm n -> Prop :=
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algo_dom (PUniv i) (PUniv j)
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| A_BindCong p0 p1 A0 A1 B0 B1 :
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algo_dom A0 A1 ->
|
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algo_dom B0 B1 ->
|
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algo_dom_r A0 A1 ->
|
||||
algo_dom_r B0 B1 ->
|
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(* ---------------------------- *)
|
||||
algo_dom (PBind p0 A0 B0) (PBind p1 A1 B1)
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@ -68,25 +70,53 @@ Inductive algo_dom {n} : PTm n -> PTm n -> Prop :=
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ishne u0 ->
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ishne u1 ->
|
||||
algo_dom u0 u1 ->
|
||||
algo_dom a0 a1 ->
|
||||
algo_dom_r a0 a1 ->
|
||||
(* ------------------------- *)
|
||||
algo_dom (PApp u0 a0) (PApp u1 a1)
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||||
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||||
with algo_dom_r {n} : PTm n -> PTm n -> Prop :=
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||||
| A_NfNf a b :
|
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algo_dom a b ->
|
||||
algo_dom_r a b
|
||||
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||||
| A_HRedL a a' b :
|
||||
HRed.R a a' ->
|
||||
algo_dom a' b ->
|
||||
algo_dom_r a' b ->
|
||||
(* ----------------------- *)
|
||||
algo_dom a b
|
||||
algo_dom_r a b
|
||||
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||||
| A_HRedR a b b' :
|
||||
ishne a \/ ishf a ->
|
||||
HRed.R b b' ->
|
||||
algo_dom a b' ->
|
||||
algo_dom_r a b' ->
|
||||
(* ----------------------- *)
|
||||
algo_dom a b.
|
||||
algo_dom_r a b.
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||||
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||||
Derive Signature for algo_dom algo_dom_r.
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||||
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||||
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||||
Definition fin_eq {n} (i j : fin n) : bool.
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||||
Derive Dependent Inversion adom_inv with (forall n (a b : PTm n), algo_dom a b) Sort Prop.
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||||
|
||||
Lemma algo_dom_hf_hne n (a b : PTm n) :
|
||||
algo_dom a b ->
|
||||
(ishf a \/ ishne a) /\ (ishf b \/ ishne b).
|
||||
Proof.
|
||||
induction 1 =>//=; hauto lq:on.
|
||||
Qed.
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||||
|
||||
Lemma hf_no_hred n (a b : PTm n) :
|
||||
ishf a ->
|
||||
HRed.R a b ->
|
||||
False.
|
||||
Proof. hauto l:on inv:HRed.R. Qed.
|
||||
|
||||
Lemma hne_no_hred n (a b : PTm n) :
|
||||
ishne a ->
|
||||
HRed.R a b ->
|
||||
False.
|
||||
Proof. elim : a b => //=; hauto l:on inv:HRed.R. Qed.
|
||||
|
||||
Definition fin_beq {n} (i j : fin n) : bool.
|
||||
Proof.
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||||
induction n.
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||||
- by exfalso.
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||||
|
|
@ -98,7 +128,7 @@ Proof.
|
|||
Defined.
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||||
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||||
Lemma fin_eq_dec {n} (i j : fin n) :
|
||||
Bool.reflect (i = j) (fin_eq i j).
|
||||
Bool.reflect (i = j) (fin_beq i j).
|
||||
Proof.
|
||||
revert i j. induction n.
|
||||
- destruct i.
|
||||
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|
@ -116,24 +146,162 @@ Proof.
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|||
+ by apply ReflectT.
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||||
Defined.
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||||
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||||
Scheme Equality for PTag.
|
||||
Scheme Equality for BTag.
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||||
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||||
(* Fixpoint PTm_eqb {n} (a b : PTm n) := *)
|
||||
(* match a, b with *)
|
||||
(* | VarPTm i, VarPTm j => fin_eq i j *)
|
||||
(* | PAbs a, PAbs b => PTm_eqb a b *)
|
||||
(* | PApp a0 b0, PApp a1 b1 => PTm_eqb a0 a1 && PTm_eqb b0 b1 *)
|
||||
(* | PBind p0 A0 B0, PBind p1 A1 B1 => BTag_beq p0 p1 && PTm_eqb A0 A1 && PTm_eqb B0 B1 *)
|
||||
(* | PPair a0 b0, PPair a1 b1 => PTm_eqb a0 a1 && PTm_eqb b0 b1 *)
|
||||
(* | *)
|
||||
|
||||
(* Lemma hred {n} (a : PTm n) : (relations.nf HRed.R a) + {x | HRed.R a x}. *)
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||||
(* Proof. *)
|
||||
(* induction a. *)
|
||||
(* - hauto lq:on inv:HRed.R unfold:relations.nf. *)
|
||||
(* - hauto lq:on inv:HRed.R unfold:relations.nf. *)
|
||||
(* - clear IHa2. *)
|
||||
(* destruct IHa1. *)
|
||||
(* destruct a1. *)
|
||||
|
||||
Fixpoint hred {n} (a : PTm n) : option (PTm n) :=
|
||||
match a with
|
||||
| VarPTm i => None
|
||||
| PAbs a => None
|
||||
| PApp (PAbs a) b => Some (subst_PTm (scons b VarPTm) a)
|
||||
| PApp a b =>
|
||||
match hred a with
|
||||
| Some a => Some (PApp a b)
|
||||
| None => None
|
||||
end
|
||||
| PPair a b => None
|
||||
| PProj p (PPair a b) => if p is PL then Some a else Some b
|
||||
| PProj p a =>
|
||||
match hred a with
|
||||
| Some a => Some (PProj p a)
|
||||
| None => None
|
||||
end
|
||||
| PUniv i => None
|
||||
| PBind p A B => None
|
||||
| PBot => None
|
||||
| PNat => None
|
||||
| PZero => None
|
||||
| PSuc a => None
|
||||
| PInd P PZero b c => Some b
|
||||
| PInd P (PSuc a) b c =>
|
||||
Some (subst_PTm (scons (PInd P a b c) (scons a VarPTm)) c)
|
||||
| PInd P a b c =>
|
||||
match hred a with
|
||||
| Some a => Some (PInd P a b c)
|
||||
| None => None
|
||||
end
|
||||
end.
|
||||
|
||||
Lemma hred_complete n (a b : PTm n) :
|
||||
HRed.R a b -> hred a = Some b.
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||||
Proof.
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||||
induction 1; hauto lq:on rew:off inv:HRed.R b:on.
|
||||
Qed.
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||||
|
||||
Lemma hred_sound n (a b : PTm n):
|
||||
hred a = Some b -> HRed.R a b.
|
||||
Proof.
|
||||
elim : a b; hauto q:on dep:on ctrs:HRed.R.
|
||||
Qed.
|
||||
|
||||
Lemma hred_deter n (a b0 b1 : PTm n) :
|
||||
HRed.R a b0 -> HRed.R a b1 -> b0 = b1.
|
||||
Proof.
|
||||
move /hred_complete => + /hred_complete. congruence.
|
||||
Qed.
|
||||
|
||||
Definition hred_fancy n (a : PTm n) :
|
||||
relations.nf HRed.R a + {x | HRed.R a x}.
|
||||
Proof.
|
||||
destruct (hred a) as [a'|] eqn:eq .
|
||||
- right. exists a'. hauto q:on use:hred_sound.
|
||||
- left.
|
||||
move => [a' h].
|
||||
move /hred_complete in h.
|
||||
congruence.
|
||||
Defined.
|
||||
|
||||
Ltac check_equal_triv :=
|
||||
lazymatch goal with
|
||||
(* | [h : algo_dom (VarPTm _) (PAbs _) |- _] => idtac *)
|
||||
| [h : algo_dom _ _ |- _] => try inversion h; by subst
|
||||
| _ => idtac
|
||||
end.
|
||||
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||||
Lemma algo_dom_hne_abs_inv n (a : PTm n) b :
|
||||
ishne a ->
|
||||
algo_dom a (PAbs b) ->
|
||||
algo_dom_r (PApp (ren_PTm shift a) (VarPTm var_zero)) b.
|
||||
Proof.
|
||||
remember (PAbs b) as u.
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||||
destruct 2; try (exfalso; simpl in *; congruence).
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||||
injection Hequ. move => <-.
|
||||
apply H1.
|
||||
Defined.
|
||||
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||||
Equations check_equal {n} (a b : PTm n) (h : algo_dom a b) :
|
||||
bool by struct h :=
|
||||
check_equal a b h with (@idP (ishne a || ishf a)) := {
|
||||
| Bool.ReflectT _ _ => _
|
||||
| Bool.ReflectF _ _ => _
|
||||
}.
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||||
check_equal (VarPTm i) (VarPTm j) h := fin_beq i j;
|
||||
check_equal (PAbs a) (PAbs b) h := check_equal_r a b ltac:(check_equal_triv);
|
||||
check_equal (PAbs a) b h := check_equal_r a (PApp (ren_PTm shift b) (VarPTm var_zero)) ltac:(check_equal_triv);
|
||||
check_equal a (PAbs b) h := check_equal_r (PApp (ren_PTm shift a) (VarPTm var_zero)) b ltac:(check_equal_triv);
|
||||
check_equal (PPair a0 b0) (PPair a1 b1) h :=
|
||||
check_equal_r a0 a1 ltac:(check_equal_triv) && check_equal_r b0 b1 ltac:(check_equal_triv);
|
||||
check_equal (PPair a0 b0) u h :=
|
||||
check_equal_r a0 (PProj PL u) ltac:(check_equal_triv) && check_equal_r b0 (PProj PR u) ltac:(check_equal_triv);
|
||||
check_equal u (PPair a1 b1) h :=
|
||||
check_equal_r (PProj PL u) a1 ltac:(check_equal_triv) && check_equal_r (PProj PR u) b1 ltac:(check_equal_triv);
|
||||
check_equal (PBind p0 A0 B0) (PBind p1 A1 B1) h :=
|
||||
BTag_beq p0 p1 && check_equal_r A0 A1 ltac:(check_equal_triv) && check_equal_r B0 B1 ltac:(check_equal_triv);
|
||||
check_equal PNat PNat _ := true;
|
||||
check_equal PZero PZero _ := true;
|
||||
check_equal (PSuc a) (PSuc b) h := check_equal_r a b ltac:(check_equal_triv);
|
||||
check_equal (PUniv i) (PUniv j) _ := Nat.eqb i j;
|
||||
check_equal a b h := false;
|
||||
with check_equal_r {n} (a b : PTm n) (h : algo_dom_r a b) :
|
||||
bool by struct h :=
|
||||
check_equal_r a b h with hred_fancy _ a =>
|
||||
{ check_equal_r a b h (inr a') := check_equal_r (proj1_sig a') b _;
|
||||
check_equal_r a b h (inl _) with hred_fancy _ b =>
|
||||
{ check_equal_r a b h (inl _) (inl _) := check_equal a b _;
|
||||
check_equal_r a b h (inl _) (inr b') := check_equal_r a (proj1_sig b') _}} .
|
||||
|
||||
|
||||
(* check_equal (VarPTm i) (VarPTm j) h := fin_eq i j; *)
|
||||
(* check_equal (PAbs a) (PAbs b) h := check_equal a b _; *)
|
||||
(* check_equal (PPair a0 b0) (PPair a1 b1) h := *)
|
||||
(* check_equal a0 b0 _ && check_equal a1 b1 _; *)
|
||||
(* check_equal (PUniv i) (PUniv j) _ := _; *)
|
||||
Next Obligation.
|
||||
move => /= ih ihr n a nfa b nfb.
|
||||
inversion 1; subst=>//=.
|
||||
exfalso. sfirstorder.
|
||||
exfalso. sfirstorder.
|
||||
Defined.
|
||||
|
||||
Next Obligation.
|
||||
simpl.
|
||||
intros ih.
|
||||
Admitted.
|
||||
move => /= ih ihr n a nfa b [b' hb'].
|
||||
inversion 1; subst =>//=.
|
||||
exfalso. hauto lq:on use:algo_dom_hf_hne, hf_no_hred, hne_no_hred.
|
||||
exfalso. sfirstorder.
|
||||
have ? : b' = b'0 by eauto using hred_deter.
|
||||
subst.
|
||||
assumption.
|
||||
Defined.
|
||||
|
||||
Next Obligation.
|
||||
simpl => ih ihr n a [a' ha'] b.
|
||||
inversion 1; subst => //=.
|
||||
exfalso. hauto lq:on use:algo_dom_hf_hne, hf_no_hred, hne_no_hred.
|
||||
suff ? : a'0 = a' by subst; assumption.
|
||||
by eauto using hred_deter.
|
||||
exfalso. hauto lq:on use:hf_no_hred, hne_no_hred.
|
||||
Defined.
|
||||
|
||||
|
||||
Search (Bool.reflect (is_true _) _).
|
||||
Check idP.
|
||||
|
|
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