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2.9 KiB
Coq
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Coq
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Require Import ssreflect.
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From Hammer Require Import Tactics.
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Require Import Autosubst2.core Autosubst2.fintype Autosubst2.syntax.
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(* Trying my best to not write C style module_funcname *)
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Module Par.
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Inductive R {n} : Tm n -> Tm n -> Prop :=
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(***************** Beta ***********************)
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| Var i : R (VarTm i) (VarTm i)
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| AppAbs a0 a1 b0 b1 :
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R a0 a1 ->
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R b0 b1 ->
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R (App (Abs a0) b0) (subst_Tm (scons b1 VarTm) a1)
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| AppPair a0 a1 b0 b1 c0 c1:
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R a0 a1 ->
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R b0 b1 ->
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R c0 c1 ->
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R (App (Pair a0 b0) c0) (Pair (App a1 c1) (App b1 c1))
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| Proj1Abs a0 a1 :
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R a0 a1 ->
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R (Proj1 (Abs a0)) (Abs (Proj1 a0))
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| Proj1Pair a0 a1 b :
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R a0 a1 ->
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R (Proj1 (Pair a0 b)) a1
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| Proj2Abs a0 a1 :
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|
R a0 a1 ->
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R (Proj2 (Abs a0)) (Abs (Proj2 a0))
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| Proj2Pair a0 a1 b :
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R a0 a1 ->
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R (Proj2 (Pair a0 b)) a1
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(****************** Eta ***********************)
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| AppEta a0 a1 :
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R a0 a1 ->
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R a0 (Abs (ren_Tm shift a1))
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| PairEta a0 a1 :
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R a0 a1 ->
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R a0 (Pair a1 a1)
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(*************** Congruence ********************)
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| AppCong a0 a1 b0 b1 :
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R a0 a1 ->
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R b0 b1 ->
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R (App a0 b0) (App a1 b1)
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| Proj1Cong a0 a1 :
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R a0 a1 ->
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R (Proj1 a0) (Proj1 a1)
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| Proj2Cong a0 a1 :
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R a0 a1 ->
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R (Proj2 a0) (Proj2 a1).
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End Par.
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(***************** Beta rules only ***********************)
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Module RPar.
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Inductive R {n} : Tm n -> Tm n -> Prop :=
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|
(***************** Beta ***********************)
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| Var i : R (VarTm i) (VarTm i)
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| AppAbs a0 a1 b0 b1 :
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R a0 a1 ->
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|
R b0 b1 ->
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|
R (App (Abs a0) b0) (subst_Tm (scons b1 VarTm) a1)
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| AppPair a0 a1 b0 b1 c0 c1:
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|
R a0 a1 ->
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|
R b0 b1 ->
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|
R c0 c1 ->
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R (App (Pair a0 b0) c0) (Pair (App a1 c1) (App b1 c1))
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| Proj1Abs a0 a1 :
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|
R a0 a1 ->
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R (Proj1 (Abs a0)) (Abs (Proj1 a0))
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| Proj1Pair a0 a1 b :
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R a0 a1 ->
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R (Proj1 (Pair a0 b)) a1
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| Proj2Abs a0 a1 :
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|
R a0 a1 ->
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|
R (Proj2 (Abs a0)) (Abs (Proj2 a0))
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|
|
| Proj2Pair a0 a1 b :
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|
R a0 a1 ->
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||
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|
R (Proj2 (Pair a0 b)) a1
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(*************** Congruence ********************)
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| AppCong a0 a1 b0 b1 :
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|
R a0 a1 ->
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|
R b0 b1 ->
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|
R (App a0 b0) (App a1 b1)
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| Proj1Cong a0 a1 :
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|
R a0 a1 ->
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R (Proj1 a0) (Proj1 a1)
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| Proj2Cong a0 a1 :
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R a0 a1 ->
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|
R (Proj2 a0) (Proj2 a1).
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|
End RPar.
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Module EPar.
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Inductive R {n} : Tm n -> Tm n -> Prop :=
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(****************** Eta ***********************)
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| AppEta a0 a1 :
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|
R a0 a1 ->
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R a0 (Abs (ren_Tm shift a1))
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| PairEta a0 a1 :
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|
R a0 a1 ->
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|
R a0 (Pair a1 a1)
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|
(*************** Congruence ********************)
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|
| AppCong a0 a1 b0 b1 :
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|
R a0 a1 ->
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|
R b0 b1 ->
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|
R (App a0 b0) (App a1 b1)
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|
| Proj1Cong a0 a1 :
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|
R a0 a1 ->
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R (Proj1 a0) (Proj1 a1)
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| Proj2Cong a0 a1 :
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R a0 a1 ->
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R (Proj2 a0) (Proj2 a1).
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End EPar.
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Lemma EPar_Par n (a b : Tm n) : EPar.R a b -> Par.R a b.
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Proof. induction 1; hauto lq:on ctrs:Par.R. Qed.
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Lemma EPar_
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